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如果观察克莱因瓶，有一点似乎令人困惑－－克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。

我们可以把克莱因瓶放在四维空间中理解：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。

如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。

克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。

用扭结来打比方，如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。

但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线。

它并不和自己相交，而是连续不断的一条曲线。

在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。

只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。

克莱因瓶也一样，我们可以把它理解成处于四维空间中的曲面。

在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；

就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。

有趣的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环。

在二维看似穿过自身的绳子 在二维看似穿过自身的绳子 如果莫比乌斯带能够完美的展现一个二维空间中一维可无限扩展之空间模型的话，克莱因瓶只能作为展现一个三维空间中二维可无限扩展之空间模型的参考。

因为在制作莫比乌斯带的过程中，我们要对纸带进行180翻转再首尾相连，这就是一个三维空间下的操作。

理想的三维空间中二维可无限扩展之空间模型应该是在二维面中，朝任意方向前进都可以回到原点的模型，而克莱因瓶虽然在二维面上可以向任意方向无限前进。

但是只有在两个特定的方向上才会回到原点，并且只有在其中一个方向上，回到原点之前会经过一个逆向原点，真正理想的三维空间中二维可无限扩展之空间模型也应该是在二维面上朝任何方向前进，都会先经过一次逆向原点，再回到原点。

而制作这个模型，则需要在四维空间上对三维模型进行扭曲。

数学中有一个重要分支叫拓扑学，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，克莱因瓶和莫比乌斯带变成了拓扑学中最有趣的问题之一。

莫比乌斯带的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。

三维空间里的克莱因瓶 拓扑学的定义编辑 克莱因瓶定义为正方形区域 [0,1][0,1] 模掉等价关系 0,y~ 1,y, 0y1 和 x,0~ 1-x,1, 0x1。

类似于 Mobius Band, 克莱因瓶不可定向。

但 Mobius 带可嵌入 ，而克莱因瓶只能嵌入四维（或更高维）空间。

莫比乌斯带编辑 把一条纸带的一段扭180，再和另一端粘起来就得到一条莫比乌斯带的模型。

这也是一个只有莫比乌斯带、一个面的曲面，但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是，它有边（注意，它只有一条边）。

如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来，你就得到了一个克莱因瓶 莫比乌斯带 莫比乌斯带 （当然不要忘了，我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话就不得不把纸撕破一点）。

同样地，如果把一个克莱因瓶适当地剪开来，我们就能得到两条莫比乌斯带。

除了我们上面看到的克莱因瓶的模样，还有一种不太为人所知的8字形克莱因瓶。

它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面－－克莱因瓶。

实际上，可以说克莱因瓶是一个3的莫比乌斯带。

我们知道，在平面上画一个圆，再在圆内放一样东西，假如在二度空间中将它拿出来，就不得不越过圆周。

但在三度空间中，很容易不越过圆周就将其拿出来，放到圆外。

将物体的轨迹连同原来的圆投影到二度空间中，就是一个二维克莱因瓶，即莫比乌斯带（这里的莫比乌斯带是指拓扑意义上的莫比乌斯带）。

再设想一下，在我们的3空间中，不可能在不打破蛋壳的前提下从鸡蛋中取出蛋黄，但在四度空间里却可以。

将蛋黄的轨迹连同蛋壳投影在三度空间中，必然可以看到一个克莱因瓶。

制造经历编辑 过去，德国数学家克莱因就曾提出了不可能设想，即拓扑学的大怪物－－克莱因瓶。

这种瓶子根本没有内、外之分，无论从什么地方穿透曲面，到达之处依然在瓶的外面，所以，它本质上就是一个有外无内的古怪东西。

尽管现代玻璃工业已经发展得非常先进，但是，所谓的克莱因瓶却始终是大数学家克莱因先生脑子里头的虚构物，根本制造不出来。

许多国家的数学家老是想造它一个出来，作为献给国际数学家大会的礼物。

然而，等待他们的是一个失败接着一个失败。

也有人认为，即使造不出玻璃制品，能造出一个纸模型也不错。

如果真的解决了这个问题，那可是个大收获！直径和年龄 最新的研究认为宇宙的直径可920亿光年，甚至更大。

[28] 目前可观测的宇宙年龄大约为138.2亿年。

[29] 形状 宇宙微波背景的温度一端高，暗示呈弯曲状 宇宙微波背景的温度一端高，暗示呈弯曲状 [30] 目前的宇宙理论认为宇宙可能是类似马鞍状的负弯曲形状，该理论源于宇宙大爆炸理论，整个宇宙的外形如同一个吹起的气球，我们则生活在宇宙的表面。

[31] 同时，科学家也认为宇宙是平坦的，根据美国宇航局的调查，宇宙可能是平坦的，2013年的调查发现如果宇宙是平坦的，那么误差只有0.4%。

[32] 斯蒂芬·霍金表示，我们宇宙的形状可能是一种难以置信的几何图形，更接近于超现实主义的艺术，如同荷兰艺术家摩里茨·科奈里斯·埃舍尔创 银河系 银河系 [33] 作的图形一样。

霍金的想法以弦理论为依据，而该理论目前仍然还处于假设之中，并未被验证。

如果用语言来形容宇宙的形状，应该是整体呈现多重镶嵌模式，具有无限重复出现的扭曲面，曲面间环环相扣，如同科奈里斯·埃舍尔创作的圆形极限IV图案，也与美国工程师P.H. Smith创作的史密斯圆图类似，体现出双曲空间的概念，是一种非欧几何的空间形态。

[34] 层次结构 当代天文学研究成果表明，宇宙是有层次结构的、 即将发生碰撞的两个星系NGC 470和NGC 474 即将发生碰撞的两个星系NGC 470和NGC 474 [35] 不断膨胀、物质形态多样的、不断运动发展的天体系统。

行星、小行星、彗星和流星体都围绕中心天体太阳运转，构成太阳系。

太阳系外也存在其他行星系统。

约2500亿颗类似太阳的恒星和星际物质构成更巨大的天体系统——银河系。

银河系的直径约10万光年，太阳位于银河系的一个旋臂中，距银心约2.6万光年。

银河系外还有许多类似的天体系统，称为河外星系，常简称星系。

目前观测到1000亿个星系，科学家估计宇宙中至少有2万亿个星系。

星系聚集成大大小小的集团，叫星系团。

平均而言，每个星系团约有百余个星系，直径达上千万光年。

现已发现上万个星系团。

包括银河系在内约40个星系构成的一个小星系团叫本星系群。

椭圆星系Hercules A中心超大黑洞引发的喷流 椭圆星系Hercules A中心超大黑洞引发的喷流 [36] 若干星系团集聚在一起构成的更高一层次的天体系统叫超星系团。

超星系团往往具有扁长的外形，其长径可达数亿光年。

通常超星系团内只含有几个星系团，只有少数超星系团拥有几十个星系团。

本星系群和其附近的约50个星系团构成的超星系团叫做本超星系团。

星系分类 根据可反映星系发展状态的序列号对星系进行了分类，可以粗略地将星系划分出椭圆星系、透镜星系、漩涡星系、棒旋星系和不规则星系等五种。

[37] 太阳系天体 太阳质量占太阳系总质量的99.86%，它以自己强大的引力将 NASA公布的太阳风暴的照片 NASA公布的太阳风暴的照片 [38] 太阳系里的所有天体牢牢地吸引在它的周围，使它们不离不散、井然有序地绕自己旋转。

同时，太阳又作为一颗普通恒星，带领它的成员，万古不息地绕银河系的中心运动。

[39] 太阳的半径为696000千米，质量为1.98910^30kg，中心温度约15000000 ℃，。

[40] 如果一个人站在太阳表面，那么他的体重将会是在地球上的20倍。

[41] 现代星云假说根据观测资料和理论计算，提出：太阳系原始星云是巨大的星际云瓦解的一个小云，一开始就在自转，并在自身引力作用下收缩，中心部分形成太阳，外部演化成星云盘，星云盘以后形成行星。

目前，现代星云说又存在不同学派，这些学派之间还存在着许多差别，有待进一步研究和证实。

[42] 金星是离太阳的第二颗行星，夜空中亮度仅次于月球。

[43] 金星上没有水，大气中严重缺氧，二氧化碳占97%以上，空气中有一层厚达20千米至30千米的浓硫酸云，地面温度从不低于400℃，是个名副其实的炼狱般世界。

金星地面的大气压强为地球的90倍，相当于地球海洋中900米深度时的压强。

金星大气主要由二氧化碳等温室气体组成，失控的温室效应，是导致金星极端气候的主要原因。

由于金星没有内禀磁层保护，诱发磁层中磁场重联释放的巨大能量，使得金星大气被加热后加速逃逸。

科学界认为，金星上大气的逃逸，是造成金星上缺水而被富含二氧化碳的稠密大气所笼罩，从而导致严重的温室效应的...