【菜科解读】

实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理，。

一、上（下）确界原理

非空有上（下）界数集必有上（下）确界。

二、单调有界定理

单调有界数列必有极限。

具体来说：

单调增（减）有上（下）界数列必收敛。

三、闭区间套定理（柯西-康托尔定理）

对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。

若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。

四、有限覆盖定理（博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理）

闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。

或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。

五、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）

有界无限点集必有聚点。

或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。

六、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）

有界数列必有收敛子列。

七、完备性（柯西收敛准则）

数列收敛的充要条件是其为柯西列。

或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。

扩展资料

单调有界定理注意事项

1、单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法；

2、数列从某一项开始单调有界的话，结论依然成立，这是因为增加或去掉数列有限项不改变数列的极限。

勾股定理现约有五百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一

若设直角边为 a、b，斜边为 c，则公式为：a2+b2=c2核心要点名称由来中国古代称直角三角形短直角边为 “勾”，长直角边为 “股”，斜边为 “弦”，因而得名；

西方则以毕达哥拉斯命名。

逆定理（判定直角）若三角形三边长 a、b、c（c 为最长边）满足 a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，且直角在 a、b 夹角处。

经典整数解（勾股数）满足定理的正整数组合，如：基础组：(3, 4, 5)、(5, 12, 13)倍数组：(6, 8, 10)（3,4,5 的 2 倍）两种经典证明（直观易懂）1. 赵爽弦图（中国古代，面积割补法）将 4 个全等的直角三角形（直角边 a、b，斜边 c）拼成边长为 c 的大正方形，内部形成边长为 b−a 的小正方形。

大正方形面积：c2总面积也可表示为：4 个三角形面积 + 小正方形面积 = 421ab+(b−a)2化简得：c2=2ab+b2−2ab+a2=a2+b2，得证。

2. 相似三角形法（简洁严谨）在 Rt△ABC 中，作斜边 AB 上的高 CD，将原三角形分为△ACD 和△CBD，三者两两相似。

由△ABC∽△ACD，得 AC2=ABAD由△ABC∽△CBD，得 BC2=ABBD两式相加：AC2+BC2=AB(AD+BD)=AB2，即 a2+b2=c2。

常见应用求边长：已知直角三角形两边，求第三边（如 a=3，b=4，则 c=32+42=5）。

判定直角：用逆定理判断三角形是否为直角三角形。

实际场景：计算两点间距离（如坐标平面内点 (x1,y1) 与 (x2,y2) 的距离为 (x2−x1)2+(y2−y1)2）、工程测量、几何建模等。

关键提示仅适用于直角三角形，非直角三角形需用余弦定理。

勾股定理是余弦定理的特例（当夹角为 90 时，cos90=0）。

立体几何的八个判定定理

二、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

三、平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

四、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。

五、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

六、直线与平面垂直的性质定理：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行。

七、平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

八、平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面。